Итак, друзья, в прошлом уроке мы познакомились с Поняли, что означают слова "выражение не имеет смысла" . А теперь пришла пора разобраться, что же такое преобразование выражений. И самое главное – зачем оно нужно.

Что такое преобразование выражения?

Ответ прост, до неприличия.) Это любое действие с выражением. И всё. Все эти преобразования вы делали с первого класса. Любое не буквально, конечно… Об этом чуть ниже будет.)

Например, возьмём какое-нибудь суперкрутое числовое выражение Скажем, 3+2. Как его можно преобразовать? Да очень просто! Хотя бы взять да посчитать:

3+2 = 5

Вот этот расчёт детского садика и будет преобразованием выражения. Можно записать то же самое выражение по-другому:

3+2 = 2+3

А тут мы вообще ничего не считали. Просто взяли и переписали наше выражение в другом виде. Это тоже будет преобразованием выражения. Можно записать и по-другому. Например, вот так:

3+2 = 10-5

И эта запись – тоже преобразование выражения.

Или так:

3+2 = 10:2

Тоже преобразование выражения!

Если мы с вами постарше, с алгеброй дружим, то напишем:

Кто на "ты" с алгеброй, тот, даже особо не напрягаясь и ничего не считая, в уме сообразит, что слева и справа стоит обыкновенная пятёрка. Напрягитесь и попробуйте.)

А если мы совсем уж старшенькие, то можем записать и такие ужастики:

log 2 8+ log 2 4 = log 2 32

Или даже такие:

5 sin 2 x +5 cos 2 x =5 tgx·ctgx

Внушает? И таких преобразований, очевидно, можно понаделать сколько хочешь! Насколько позволяет фантазия. И набор знаний математики.)

Уловили смысл?

Любое действие над выражением, любая запись его в другом виде называется преобразованием выражения. И все дела. Всё очень просто.

Простота, конечно, дело всегда хорошее и приятное, но за любую простоту где-то надо платить, да…. Есть здесь одно существенное "но". Все эти загадочные превращения всегда подчиняются одному оч-чень важному правилу. Правило это настолько важное, что его смело можно назвать главным правилом всей математики. И нарушение этого простого правила неизбежно будет приводить к ошибкам. Вникаем?)

Предположим, мы преобразовали наше выражение как попало, от балды, как-нибудь вот так:

3+2 = 6+1

Преобразование? Конечно. Мы же записали выражение в другом виде! Но… что здесь не так?

Ответ: всё не так.) Дело всё в том, что преобразования "как попало и от балды" математику не интересуют вообще.) Почему? Потому, что вся математика построена на преобразованиях, в которых меняется внешний вид, но суть выражения не меняется. Таково её жёсткое требование. И нарушение этого требования будет приводить к ошибкам. Три плюс два можно записать в каком угодно виде. В каком пример требует, в том виде и запишем. Но по своей сути это всегда должно быть пять. В каком бы виде мы эти самые 3+2 ни записали. А вот, если, вдруг, после записи выражения 3+2 в другом виде, у вас вместо пяти окажется двадцать пять, где-то вы ошиблись по дороге. Вернитесь да ляп-то и устраните.)

А теперь пришла пора мудрых зелёных мыслей.)

Запоминаем:

1. Любое действие над выражением, запись его в другом виде, называется преобразованием выражения.

2. Преобразования, не меняющие сути выражения , называются тождественными.

3. Вся математика построена на тождественных преобразованиях выражений.

Именно тождественные преобразования и позволяют нам, шаг за шагом, потихоньку-помаленьку, превращать сложный пример в простое, белое и пушистое выражение, сохраняя суть примера. Если, вдруг, в цепочке наших преобразований мы где-то ошибёмся, и на каком-то шаге сделаем НЕ ТОЖДЕСТВЕННОЕ преобразование, то дальше мы будем решать уже совсем другой пример. С другими ответами, да… Которые уже не будут иметь никакого отношения к правильным.) Нарушим тождественность и накосячим ещё где-то - приступим к решению уже третьего примера. И так далее, в зависимости от количества косяков, от задачки про поезд и автомобиль можно прийти к задачке про полтора землекопа.)

Ещё пример. Для школьников, уже вовсю изучающих алгебру. Допустим, нам надо найти значение выражения (40+7) 2 . Как можно выкрутиться, т.е. преобразовать наше злое выражение? Можно просто посчитать выражение в скобках (получим 47), перемножить столбиком само на себя и получить (если сосчитать) 2209. А можно воспользоваться формулой

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 .

Получим: (40+7) 2 = 40 2 +2∙40∙7+7 2 = 1600+560+49 = 2209.

Но! Есть соблазн (скажем, в силу незнания формулы) при возведении в квадрат записать просто:

(40+7) 2 = 40 2 +7 2 .

К сожалению, на данном простом и, казалось бы, очевидном переходе, тождественность наших преобразований нарушается . Слева всё как надо, 2209, а вот справа – уже другое число. 1649. Посчитайте – и всё станет понятно. Вот вам типичный пример НЕ тождественного преобразования. И соответственно вылезшей ошибки. )

Вот оно и главное правило решения любых заданий: соблюдение тождественности преобразований.

Пример с числовыми выражениями 3+2 и (40+7) 2 я привёл чисто для наглядности.

А что же с алгебраическими выражениями? Всё то же самое! Только в алгебраических выражениях тождественные преобразования задаются формулами и правилами. Скажем, в алгебре есть формула:

a(b-c) = ab - ac

Значит, в любом примере мы имеем полное право вместо выражения a(b-c) смело написать альтернативное выражение ab - ac . И наоборот. Это Математика предоставляет нам на выбор эти два выражения. А уж какое из них писать - от конкретного примера зависит.

Или популярное:

a 2 - b 2 = (a - b )(a + b )

Опять же, два возможных варианта. Оба правильные.) Это тоже тождественное преобразование. Что выгоднее писать – разность квадратов или же произведение скобок – пример сам подскажет.)

Ещё пример. Одно из самых главных и нужных преобразований в математике - это основное свойство дроби. Подробнее можно (будет) по ссылочке почитать и посмотреть (когда урок сделаю), а здесь я просто напомню правило:

Если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, или неравное нулю выражение, дробь не изменится.

Вот вам пример тождественных преобразований по этому свойству:

Как вы, наверняка, догадались, эту славную цепочку можно продолжать до бесконечности...) Насколько хватит творческого порыва. Всякие там минусы, корни, пусть вас не смущают. Это всё одна и та же дробь. По своей сути. Две трети. 2/3. Просто записанная в разном виде. :) Очень важное свойство. Именно оно очень часто позволяет превращать всякие монстры-примеры в белые и пушистые.)

Конечно же, формул и правил, задающих тождественные преобразования, - много. Я бы даже сказал, очень много. Но самых главных, без которых в математике хотя бы троечного уровня обойтись нельзя , - вполне разумное количество.

Вот одни из базовых преобразований:

1. Работа с одночленами и многочленами. Приведение подобных слагаемых (или коротко – подобных);

2. Раскрытие скобок и заключение в скобки ;

3. Разложение на множители ;

4. и разложение квадратного трёхчлена .

5. Работа с дробями и дробными выражениями.

Эти пять базовых преобразований широко используются во всей математике . От элементарной до высшей. И, если вы не владеете хотя бы одной из этих пяти простых вещей, то вас неминуемо ждут большие проблемы как во всей математике средней школы, так и в старших классах, а уж в ВУЗе – тем более. Поэтому именно с них и начнём. В следующих уроках этого раздела.)

Есть и более крутые преобразования. Для продвинутых школьников и студентов.) Будь то:

6. , и всё что с ними связано;

7. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена;

8. Деление многочленов уголком или по схеме Горнера ;

9. Разложение рациональной дроби в сумму элементарных (простейших) дробей. Полезнейшая фишка для студентов при работе

Итак, всё ясно насчёт тождественности преобразований и важности её соблюдения? Отлично! Тогда пора двигаться на следующий уровень и шагать из примитивной арифметики в более серьёзную алгебру окончательно. И с блеском в глазах.)

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».

То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение - значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).

Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров:

Примеры:

Решения:

1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать и? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:

Первым действием должно быть разложение на множители:

4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание обычных дробей - операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.

Давай вспомним:

Ответы:

1. Знаменатели и - взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

2. Здесь общий знаменатель равен:

3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше - по привычной схеме:

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

Начнем с простого:

a) Знаменатели не содержат букв

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

Попробуй сам:

Ответы:

b) Знаменатели содержат буквы

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

· в первую очередь мы определяем общие множители;

· затем выписываем все общие множители по одному разу;

· и домножаем их на все остальные множители, не общие.

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

Это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

· раскладываем знаменатели на множители;

· определяем общие (одинаковые) множители;

· выписываем все общие множители по одному разу;

· домножаем их на все остальные множители, не общие.

Итак, по порядку:

1) раскладываем знаменатели на множители:

2) определяем общие (одинаковые) множители:

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

Значит, общий знаменатель здесь. Первую дробь нужно домножить на, вторую - на:

Кстати, есть одна хитрость:

Например: .

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

в степени

в степени

в степени

в степени.

Усложним задание:

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Давай вспомним основное свойство дроби:

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Убедись сам: возьми любую дробь, например, и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить, чтобы получить?

Вот на и домножай. А домножай на:

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».

Например, - это элементарный множитель. - тоже. А вот - нет: он раскладывается на множители.

Что скажешь насчет выражения? Оно элементарное?

Нет, поскольку его можно разложить на множители:

(о разложении на множители ты уже читал в теме « »).

Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами - это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.

Видим, что в обоих знаменателях есть множитель. Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).

Множитель - элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:

Еще пример:

Решение:

Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют :

Отлично! Тогда:

Еще пример:

Решение:

Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки; во втором - разность квадратов:

Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:

Так и напишем:

То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.

Теперь приводим к общему знаменателю:

Усвоил? Сейчас проверим.

Задачи для самостоятельного решения:

Ответы:

Тут надо вспомнить еще одну - разность кубов:

Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: .

А - это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем - это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение. Неполный квадрат суммы - это один из множителей в разложени разности кубов:

Что делать, если дробей аж три штуки?

Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:

Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.

В общий знаменатель выписавыем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:

Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?

Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь - это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл). И нет ничего проще, чем разделить число на. При этом само число не изменится, но превратится в дробь:

То, что нужно!

5. Умножение и деление дробей.

Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:

Порядок действий

Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:

Посчитал?

Должно получиться.

Итак, напоминаю.

Первым делом вычисляется степень.

Вторым - умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.

И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.

Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!

Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.

А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.

Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):

Хорошо, это все просто.

Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных , сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять я или просто выносить общий множитель за скобки.

Обычно наша цель - представить выражение в виде произведения или частного.

Например:

Упростим выражение.

1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель - представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь - элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).

2) Получаем:

Умножение дробей: что может быть проще.

3) Теперь можно и сократить:

Ну вот и все. Ничего сложного, правда?

Еще пример:

Упрости выражение.

Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.

Решение:

Перво-наперво определим порядок действий.

Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.

Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.

Схематически пронумерую действия:

Теперь покажу весть процесс, подкрашивая текущее действие красным:

1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.

2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.

Вот тебе задачи для самостоятельного решения:

И обещанная в самом начале:

Ответы:

Решения (краткие):

Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.

Теперь вперед к обучению!

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Базовые операции упрощения:

• Приведение подобных : чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
• Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение и т.д.
• Сокращение дроби : числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
  1) числитель и знаменатель разложить на множители
  2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.

  ВАЖНО: сокращать можно только множители!

• Сложение и вычитание дробей:
  ;
• Умножение и деление дробей:
  ;

Содержание урока

Возведение двучлена в степень

Двучлен — это многочлен, состоящий из двух членов. В прошлых уроках мы возводили двучлен во вторую и третью степень, тем самым получили формулы сокращенного умножения:

(a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Но двучлен можно возводить не только во вторую и третью степень, но и в четвёртую, пятую или более высокую степень.

К примеру, возведём двучлен a + b в четвертую степень:

(a + b ) 4

Представим это выражение в виде произведения двучлена a + b и куба этого же двучлена

(a + b )(a + b ) 3

Сомножитель (a + b ) 3 можно заменить на правую часть формулы куба суммы двух выражений. Тогда получим:

(a + b )(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3)

А это обычное перемножение многочленов. Выполним его:

То есть при возведении двучлена a + b в четвертую степень получается многочлен a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

(a + b ) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

Возведение двучлена a + b в четвертую степень можно выполнить ещё и так: представить выражение (a + b ) 4 в виде произведения степеней (a + b ) 2 (a + b ) 2

(a + b ) 2 (a + b ) 2

Но выражение (a + b ) 2 равно a 2 + 2ab + b 2 . Заменим в выражении (a + b ) 2 (a + b ) 2 квадраты суммы на многочлен a 2 + 2ab + b 2

(a 2 + 2ab + b 2)(a 2 + 2ab + b 2)

А это опять же обычное перемножение многочленов. Выполним его. У нас получится тот же результат, что и раньше:

Возведение трёхчлена в степень

Трёхчлен — это многочлен, состоящий из трёх членов. Например, выражение a + b + c является трёхчленом.

Иногда может возникнуть задача возвести трёхчлен в степень. Например, возведём в квадрат трехчлен a + b + c

(a + b + c ) 2

Два члена внутри скобок можно заключить в скобки. К примеру, заключим сумму a + b в скобки:

((a + b ) + c ) 2

В этом случае сумма a + b будет рассматриваться как один член. Тогда получается, что в квадрат мы возводим не трёхчлен, а двучлен. Сумма a + b будет первым членом, а член c — вторым членом. А как возводить в квадрат двучлен мы уже знаем. Для этого можно воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Применим эту формулу к нашему примеру:

Таким же способом можно возвести в квадрат многочлен, состоящий из четырёх и более членов. Например, возведем в квадрат многочлен a + b + c + d

(a + b + c + d ) 2

Представим многочлен в виде суммы двух выражений: a + b и c + d . Для этого заключим их в скобки:

((a + b ) + (c + d )) 2

Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена

Ещё одно тождественное преобразование, которое может пригодиться при решении задач это выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.

Квадратным трехчленом называют трёхчлен второй степени. Например, следующие трехчлены являются квадратными:

Идея выделения полного квадрата из таких трехчленов заключается в том, чтобы представить исходный квадратный трехчлен в виде выражения (a + b ) 2 + c , где (a + b ) 2 полный квадрат, а c — некоторое числовое или буквенное выражение.

Например, выделим полный квадрат из трёхчлена 4x 2 + 16x + 19 .

Для начала нужно построить выражение вида a 2 + 2ab + b 2 . Строить мы его будем из трехчлена 4x 2 + 16x + 19 . Для начала определимся какие члены будут играть роли переменных a и b

Роль переменной a будет играть член 2x , поскольку первый член трехчлена 4x 2 + 16x + 19 , а именно 4x 2 получается если 2x возвести в квадрат:

(2x ) 2 = 4x 2

Итак, переменная a равна 2x

a = 2x

Теперь возвращаемся к исходному трёхчлену и сразу обращаем внимание на выражение 16x . Это выражение является удвоенным произведением первого выражения a (в нашем случае это 2x ) и второго пока неизвестного нам выражения b . Временно поставим на его место вопросительный знак:

2 × 2x × ? = 16x

Если внимательно посмотреть на выражение 2 × 2x × ? = 16x , то интуитивно станет понятно, что членом b в данной ситуации является число 4, поскольку выражение 2 × 2x равно 4x , и чтобы получить 16x нужно домножить 4x на 4 .

2 × 2x × 4 = 16x

Отсюда делаем вывод, что переменная b равна 4

b = 4

Значит, нашим полным квадратом будет выражение (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2

Теперь у нас всё готово для выделения полного квадрата из трёхчлена 4x 2 + 16x + 19 .

Итак, возвратимся к исходному трехчлену 4x 2 + 16x + 19 и попробуем аккуратно внедрить в него полученный нами полный квадрат (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2

4x 2 + 16x + 19 =

Вместо 4x 2 записываем (2x ) 2

4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2

4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4

4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2

А член 19 пока переписываем как есть:

4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 + 19

Теперь обратим внимание на то, что полученный нами многочлен (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 + 19 не тождественен изначальному трёхчлену 4x 2 + 16x + 19 . Убедиться в этом можно приведя многочлен (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 + 19 к стандартному виду:

(2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 + 19 = 4x 2 + 16x + 4 2 + 19

Видим, что получается многочлен 4x 2 + 16x + 4 2 + 19 , а должен был получиться 4x 2 + 16x + 19 . Это по причине того, что член 4 2 был искусственно внедрён в изначальный трёхчлен с целью организовать полный квадрата из трёхчлена 4x 2 + 16x + 19 .

4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 − 4 2 + 19

Теперь выражение (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 можно свернуть, то есть записать в виде (a + b ) 2 . В нашем случае получится выражение (2x + 4) 2

4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19

Оставшиеся члены −4 2 и 19 можно сложить. −4 2 это −16 , отсюда −16 + 19 = 3

4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 + 3

Значит, 4x 2 + 16x + 19 = (2x + 4) 2 + 3

Пример 2 . Выделить полный квадрат из квадратного трёхчлена x 2 + 2x + 2

Сначала построим выражение вида a 2 + 2 ab + b 2 . Роль переменной a в данном случае играет x, поскольку x 2 = x 2 .

Следующий член исходного трёхчлена 2x перепишем в виде удвоенного произведение первого выражения (это у нас x ) и второго выражения b (это будет 1).

2 × x × 1 = 2x

Если b = 1 , то полным квадратом будет выражение x 2 + 2x + 1 2 .

Теперь вернёмся к исходному квадратному трёхчлену и внедрим в него полный квадрата x 2 + 2x + 1 2

x 2 + 2x + 2 = x 2 + 2x + 1 2 − 1 2 + 2 = (x + 1) 2 + 1

Как и в прошлом примере член b (в данном примере это 1) после прибавления сразу был вычтен с целью сохранения значения исходного трёхчлена.

Рассмотрим следующее числовое выражение:

9 + 6 + 2

Значение этого выражения равно 17

9 + 6 + 2 = 17

Попробуем выделить в этом числовом выражении полный квадрат. Для этого сначала построим выражение вида a 2 + 2ab + b 2 . Роль переменной a в данном случае играет число 3 , поскольку первый член выражения 9 + 6 + 2 , а именно 9 можно представить как 3 2 .

Второй член 6 представим в виде удвоенного произведения первого члена 3 и второго 1

2 × 3 × 1 = 6

То есть переменная b будет равна единице. Тогда полным квадратом будет выражение 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 . Внедрим его в исходное выражение:

− 1 2 + 2

Свернем полный квадрат, а члены −1 2 и 2 слóжим:

3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1

Получилось выражение (3 + 1) 2 + 2 , которое по прежнему равно 17

(3 + 1) 2 +1 = 4 2 + 1 = 17

Допустим, у нас имеются квадрат и два прямоугольника. Квадрат со стороной 3 см, прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см, а также прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см

Вычислим площадь каждой фигуры. Площадь квадрата будет составлять 3 2 = 9 см 2 , площадь розового прямоугольника — 2 × 3 = 6 см 2 , площадь сиреневого — 1 × 2 = 2 см 2

Запишем сумму площадей этих прямоугольников:

9 + 6 + 2

Это выражение можно понимать как объединение квадрата и двух прямоугольников в единую фигуру:

Тогда получается фигура, площадь которой 17 см 2 . Действительно, в представленной фигуре содержится 17 квадратов со стороной 1 см.

Попробуем из имеющейся фигуры образовать квадрат. Причем максимально большой квадрат. Для этого будем использовать части от розового и сиреневого прямоугольника.

Чтобы образовать максимально большой квадрат из имеющейся фигуры, можно желтый квадрат оставить без изменений, а половину от розового прямоугольника прикрепить к нижней части желтого квадрата:

Видим, что до образования полного квадрата не хватает еще одного квадратного сантиметра. Его мы можем взять от сиреневого прямоугольника. Итак, возьмем один квадрат от сиреневого прямоугольника и прикрепим его к образуемому большому квадрату:

Теперь внимательно посмотрим к чему мы пришли. А именно на желтую часть фигуры и розовую часть, которая по сути увеличила прежний жёлтый квадрат. Не означает ли это то, что была сторона квадрата равная 3 см, и эта сторона была увеличена на 1 см, что привело в итоге к увеличению площади?

(3 + 1) 2

Выражение (3 + 1) 2 равно 16 , поскольку 3 + 1 = 4 , а 4 2 = 16 . Этот же результат можно получить, если воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений:

(3 + 1) 2 = 3 2 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16

Действительно, в образовавшемся квадрате содержится 16 квадратов.

Оставшийся один квадратик от сиреневого прямоугольника можно прикрепить к образовавшемуся большому квадрату. Ведь речь изначально шла о единой фигуре:

(3 + 1) 2 + 1

Прикрепление маленького квадратика к имеющемуся большому квадрату описывается выражением (3 + 1) 2 + 1 . А это есть выделение полного квадрата из выражения 9 + 6 + 2

9 + 6 + 2 = 3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1

Выражение (3 + 1) 2 + 1 , как и выражение 9 + 6 + 2 равно 17 . Действительно, площадь образовавшейся фигуры равна 17 см 2 .

Пример 4 . Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x 2 + 6x + 8

x 2 + 6x + 8 = x 2 + 2 × x × 3 + 3 2 − 3 2 + 8 = (x + 3) 2 − 1

В некоторых примерах при построении выражения a 2 + 2ab + b 2 не бывает возможным сразу определить значения переменных a и b .

Например, выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x 2 + 3x + 2

Переменной a соответствует x . Второй член 3x нельзя представить в виде удвоенного произведения первого выражения и второго. В этом случае второй член следует умножить на 2, и чтобы значение исходного многочлена не изменилось, сразу же выполнить деление на 2. Выглядеть это будет так.

Уравнения

Как решать уравнения?

В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х» . Решить уравнение - это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное тождество. Напомню, что тождество – это выражение, которое не вызывает сомнения даже у человека, абсолютно не отягощенного математическими знаниями. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Так как решать уравнения? Давайте разберёмся.

Уравнения бывают всякие (вот удивил, да?). Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.

4. Все остальные.)

Всех остальных, разумеется, больше всего, да...) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.

Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего. Мы научимся их разматывать.

И зачем нам эти четыре типа? А затем, что линейные уравнения решаются одним способом, квадратные другим, дробные рациональные - третьим, а остальные не решаются вовсе! Ну, не то, чтобы уж совсем никак не решаются, это я зря математику обидел.) Просто для них существуют свои специальные приёмы и методы.

Но для любых (повторяю - для любых! ) уравнений есть надёжная и безотказная основа для решения. Работает везде и всегда. Эта основа - Звучит страшно, но штука очень простая. И очень (очень!) важная.

Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. На 99%. Ответ на вопрос: "Как решать уравнения? " лежит, как раз, в этих преобразованиях. Намёк понятен?)

Тождественные преобразования уравнений.

В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям. В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений. Это другая тема.

Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.

Базовые потому, что их можно применять к любым уравнениям – линейным, квадратным, дробным, тригонометрическим, показательным, логарифмическим и т.д. и т.п.

Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа:

Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:

На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:

х+2 - 2 = 3 - 2

Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….

Второе тождественное преобразование : обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа

Понятное дело, х = 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.

Вот и всё.

Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики. Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)

Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.

Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.

Пример для младшеньких.)

Допустим, надо решить вот такое уравнение:

3-2х=5-3х

Вспоминаем заклинание: "с иксами - влево, без иксов - вправо!" Это заклинание - инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа? 3х ? Ответ неверный! Справа у нас - 3х ! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:

3-2х+3х=5

Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ "с никаким" не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:

-2х+3х=5-3

Остались сущие пустяки. Слева - привести подобные, справа - посчитать. Сразу получается ответ:

В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)

Пример для старшеньких.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Наряду с изучением операций и их свойств в алгебре изучают такие понятия, как выражение, уравнение, неравенство . Первоначальное зна­комство с ними происходит в начальном курсе математики. Вводятся они, как правило, без строгих определений, чаще всего остенсивно, что требует от учителя не только большой аккуратности в употреблении терминов, обозначающих эти понятия, но и знания ряда их свойств. Поэтому главная задача, которую мы ставим, приступая к изучению материала данного параграфа, - это уточнить и углубить знания о вы­ражениях (числовых и с переменными), числовых равенствах и число­вых неравенствах, уравнениях и неравенствах.

Изучение данных понятий связано с использованием математиче­ского языка, он относится к искусственным языкам, которые создаются, и развиваются вместе с той или иной наукой. Как и любой другой математический язык имеет свой алфавит. В нашем курсе он буде представлен частично, в связи с необходимостью больше внимания уделить взаимосвязи алгебры с арифметикой. В этот алфавит входят:

1) цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; с их помощью по специальным правилам записываются числа;

2) знаки операций +, -, , :;

3) знаки отношений <, >, =, M;

4) строчные буквы латинского алфавита, их применяют для обо значения чисел;

5) скобки (круглые, фигурные и др.), их называют техническими знаками.

Используя этот алфавит, в алгебре образуют слова, называя их выражениями, а из слов получаются предложения - числовые равенства, числовые неравенства, уравнения, неравенства с переменными.

Как известно, записи 3 + 7, 24: 8, 3 × 2 - 4, (25 + 3)× 2 -17 называются числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий, скобок. Если выполнить все действия, указанные в выражении, получим число, которое называется значением числового выражения . Так, значение числового выражения 3 × 2 - 4 равно 2.

Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла .

Например , выражение 8: (4 - 4) смысла не имеет, поскольку его значение найти нельзя: 4 - 4 = 0, а деление на нуль невозможно. Не имеет смысла и выражение 7-9, если рассматривать его на множестве натуральных чисел, так как на этом множестве значения выражения 7-9 найти нельзя.

Рассмотрим запись 2а + 3. Она образована из чисел, знаков действий и буквы а. Если вместо а подставлять числа, то будут получаться различные числовые выражения:

если а = 7, то 2× 7 + 3;

если а = 0, то 2× 0 + 3;

если а = - 4, то 2× (- 4) + 3.

В записи 2а + 3 такая буква а называется переменной , а сама запись 2а + 3 - выражением с переменной.

Переменную в математике, как правило, обозначают любой строчной буквой латинского алфавита. В начальной школе для обозначения переменной кроме букв используются другие знаки, например œ. Тогда запись выражения с переменной имеет вид: 2ל + 3.

Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения .

Например, область определения выражения 5: (х - 7) состоит из всех действительных чисел, кроме числа 7, так как при х = 7 выражение 5: (7 - 7) смысла не имеет.

В математике рассматривают выражения, содержащие одну, две и больше переменных.

Например, 2а + 3 - это выражение с одной пере­менной, а (3х + 8у)× 2 - это выражение с тремя переменными. Чтобы из выражения с тремя переменными получить числовое выражение, надо вместо каждой переменной подставить числа, принадлежащие области определения выражения.

Итак, мы выяснили, как образуются из алфавита математического языка числовые выражения и выражения с переменными. Если провести аналогию с русским языком, то выражения - это слова математического языка.

Но, используя алфавит математического языка, можно образовать и такие, например, записи: (3 + 2)) - × 12 или 3х – у: +)8, которые нельзя назвать ни числовым выражением, ни выражением с переменной. Эти примеры свидетельствуют о том, что описание - из каких знаков алфавита математического языка образуются выражения числовые и с переменными, не является определением этих понятий. Дадим определение числового выражения (выражение с переменными определяется аналогично).

Определение. Если f и q - числовые выражения, то (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q)- числовые выражения. Считают, что каждое чис­ло является числовым выражением.

Если точно следовать этому определению, то пришлось бы писать слишком много скобок, например, (7) + (5) или (6): (2). Для сокращения записи условились не писать скобки, если несколько выражений скла­дываются или вычитаются, причем эти операции выполняются слева направо. Точно так же не пишут скобок и тогда, когда перемножаются или делятся несколько чисел, причем эти операции выполняются по порядку слева направо.

Например , пишут так: 37 – 12 + 62 - 17+13 или 120:15-7:12.

Кроме того, условились сначала выполнять действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание). Поэтому выражение (12-4:3) + (5-8:2-7) записывают так: 12 – 4: 3 + 5 – 8: 2 - 7.

Задача. Найти значение выражения 3х (х - 2) + 4(х - 2) при х = 6.

Решение

1 способ. Подставим число 6 вместо переменной в данное выра­жение: 3 × 6-(6 - 2) + 4×(6 - 2). Чтобы найти значение полученного чи­слового выражения, выполним все указанные действия: 3×6× (6 - 2) + 4× (6-2)= 18× 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. Следовательно, при х = 6 значение выражения Зх (х- 2) + 4(х-2) равно 88.

2 способ. Прежде чем подставлять число 6 в данное выражение, упростим его: Зх (х - 2) + 4(х - 2) = (х - 2)(3х + 4). И затем, подставив в полученное выражение вместо х число 6, выполним действия: (6 - 2) × (3×6 + 4) = 4× (18 + 4) = 4×22 = 88.

Обратим внимание на следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение заменяли другим.

Например , выражение 18×4 + 4×4 заменяли выражением 72+16, а выражение Зх (х - 2) + 4(х - 2) - выражением (х - 2)(3х + 4), причем эти замены привели к одному и тому же результату. В математике, описывая решение данной задачи, говорят, что мы выполняли тождественные преобразования выражений.

Определение. Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.

Примером тождественно равных выражений могут служить выражения 5(х + 2) и 5х + 10, поскольку при любых действительных значениях х их значения равны.

Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.

Например , 5(х + 2) = 5х + 10 - тождество на множестве действительных чисел, потому что для всех действительных чисел значения выражения 5(х + 2) и 5х + 10 совпадают. Используя обозначение квантора общности, это тождество можно записать так: (" х Î R) 5(х + 2) = 5х + 10. Тождествами считают и верные числовые равенства.

Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.

Так, заменив выражение 5(х + 2) на тождественно равное ему выражение 5х + 10, мы выполнили тождественное преобразование первого выражения. Но как, имея два выражения, узнать, являются они тождественно равными или не являются? Находить соответствующие значения выражений, подставляя конкретные числа вместо переменных? Долго и не всегда возможно. Но тогда каковы те правила, которыми надо руководствоваться, выполняя тождественные преобразования выражений? Этих правил много, среди них - свойства алгебраических операций.

Задача. Разложить на множители выражение ах - bх + аb - b 2 .

Решение. Сгруппируем члены данного выражения по два (первый со вторым, третий с четвертым): ах - bх+ аb - b 2 = (ах-bх)+(аb-b 2). Это преобразование возможно на основании свойства ассоциативности сложения действительных чисел.

Вынесем в полученном выражении из каждой скобки общий множитель: (ах - bх) + (аb - b 2) = х(а -b) + b(а - b) - это преобразование возможно на основании свойства дистрибутивности умножения отно­сительно вычитания действительных чисел.

В полученном выражении слагаемые имеют общий множитель, вынесем его за скобки: х(а - b) + b(а - b) = (а - b)(х -b). Основой вы­полненного преобразования является свойство дистрибутивности ум­ножения относительно сложения.

Итак, ах - bх + аb - b 2 = (а - b)(х -b) .

В начальном курсе математики выполняют, как правило, только тождественные преобразования числовых выражений. Теоретической основой таких преобразований являются свойства сложения и умножения, различные правила: прибавления суммы к числу, числа к сумме, вычитания числа из суммы и др.

Например , чтобы найти произведение 35 × 4, надо выполнить преобразования: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. В основе выполненных преобразований лежат: свой­ство дистрибутивности умножения относительно сложения; принцип записи чисел в десятичной системе счисления (35 = 30 + 5); правила умножения и сложения натуральных чисел.