Как определить приращение функции графически. Open Library - открытая библиотека учебной информации

1. приращение аргумента и приращение функции.

Пусть дана функция . Возьмём два значения аргумента: начальное и изменённое, которое принято обозначать
, где - величина на которую изменяется аргумент при переходе от первого значения ко второму, оно называется приращением аргумента.

Значения аргумента и соответствуют определённым значениям функции: начальное и изменённое
, величину , на которую изменяется значение функции при изменении аргумента на величину , называется приращением функции.

2. понятие предела функции в точке.

Число называется пределом функции
при, стремящемся к , если для любого числа
найдётся такое число
, что при всех
, удовлетворяющих неравенству
, будет выполняться неравенство
.

Второе определение: Число называется пределом функции при, стремящемся к , если для любого числа существует такая окрестность точки , что для любого из этой окрестности . Обозначается
.

3. бесконечно большие и бесконечно малые функции в точке. Бесконечно малая функция в точке – функция, предел которой, когда она стремится к данной точке равен нулю. Бесконечно большая функция в точке – функция предел которой когда она стремится к к данной точке равен бесконечности.

4. основные теоремы о пределах и следствия из них (без доказательства).

следствие: постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Если последовательности и сходятся и предел последовательности отличен от нуля, то

следствие: постоянный множитель можно вынести за знак предела.

11. если при существуют пределы функций
и
и предел функции отличен от нуля,

то существуют также и предел их отношения, равный отношению пределов функций и :

.

12. если
, то
, справедлива и обратная.

13. теорема о пределе промежуточной последовательности. Если последовательности
сходящиеся, и
и
то

5. предел функции на бесконечности.

Число а называется пределом функции на бесконечности, (при х стремящемся к бесконечности) если для любой последовательности стремящемся к бесконечности
соответствует последовательность значений стремящихся к числу а .

6. gределы числовой последовательности.

Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа найдётся натуральное число N, такое, что при всех n > N выполняется неравенство
.

Символически это определяется так:
справедливо .

Тот факт, что число а является пределом последовательности , обозначается следующим образом:

.

7.число « е ». натуральные логарифмы.

Число « е » представляет собой предел числовой последовательности, n - й член которой
, т. е.

.

Натуральный логарифм – логарифм с основанием е. натуральные логарифмы обозначаются
без указания основания.

Число
позволяет переходить от десятичного логарифма к натуральному и обратно.

, его называют модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным.

8. замечательные пределы
,

.

Первый замечательный предел:

таким образом при

по теореме о пределе промежуточной последовательности

второй замечательный предел:

.

Для доказательства существования предела
используют лемму: для любого действительного числа
и
справедливо неравенство
(2) (при
или
неравенство обращается в равенство.)

Последовательность (1) можно записать так:

.

Теперь рассмотрим вспомогательную последовательность с общим членом
убедимся, что она убывает и ограничена снизу:
если
, то последовательность убывает. Если
, то последовательность ограничена снизу. Покажем это:

в силу равенства (2)

т. е.
или
. Т. е. последовательность убывает, а т. к. то последовательность ограничена снизу. Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она имеет предел. Тогда

имеет предел и последовательность (1), т. к.

и
.

Л. Эйлер назвал этот предел .

9. односторонние пределы, разрыв функции.

число А левый предел, если для любой последовательности выполняется следующее: .

число А правый предел, если для любой последовательности выполняется следующее: .

Если в точке а принадлежащей области определения функции или её границе, нарушается условие непрерывности функции, то точка а называется точкой разрыва или разрывом функции.если при стремлении точки

12. сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия – последовательность, в которой отношение между последующим и предыдущим членами остаётся неизменным, это отношение называется знаменателем прогрессии. Сумма первых n членов геометрической прогрессии выражается формулой
данную формулу удобно использовать для убывающей геометрической прогрессии – прогрессии у которой абсолютная величина её знаменателя меньше нуля.- первый член; - знаменатель прогрессии; - номер взятого члена последовательности. Сумма бесконечной убывающей прогрессии – число, к которому неограничено приближается сумма первых членов убывающей прогрессиии при неограниченном возростании числа .
т. о. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна .

Не всегда в жизни нас интересуют точные значения каких-либо величин. Иногда интересно узнать изменение этой величины, например, средняя скорость автобуса, отношение величины перемещения к промежутку времени и т.д. Для сравнения значения функции в некоторой точке со значениями этой же функции в других точках, удобно использовать такие понятия, как «приращение функции» и «приращение аргумента».

Понятия "приращение функции" и "приращение аргумента"

Допустим, х - некоторая произвольная точка, которая лежит в какой-либо окрестности точки х0. Приращением аргумента в точке х0 называется разность х-х0. Обозначается приращение следующим образом: ∆х.

• ∆х=х-х0.

Иногда эту величину еще называют приращением независимой переменной в точке х0. Из формулы следует: х = х0+∆х. В таких случаях говорят, что начальное значение независимой переменной х0, получило приращение ∆х.

Если мы изменяем аргумент, то и значение функции тоже будет изменяться.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).

Приращением функции f в точке x0, соответствующим приращению ∆х называется разность f(x0 + ∆х) - f(x0). Приращение функции обозначается следующим образом ∆f. Таким образом получаем, по определению:

• ∆f= f(x0 +∆x) - f(x0).

Иногда, ∆f еще называют приращением зависимой переменной и для обозначения используют ∆у, если функция была, к примеру, у=f(x).

Геометрический смысл приращения

Посмотрите на следующий рисунок.

Как видите, приращение показывает изменение ординаты и абсциссы точки. А отношение приращения функции к приращению аргумента определяет угол наклона секущей, проходящей через начальное и конечное положение точки.

Рассмотрим примеры приращения функции и аргумента

Пример 1. Найти приращение аргумента ∆х и приращение функции ∆f в точке х0, если f(х) = х 2 , x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1

Воспользуемся формулами, приведенными выше:

a) ∆х=х-х0 = 1.9 - 2 = -0.1;

• ∆f=f(1.9) - f(2) = 1.9 2 - 2 2 = -0.39;

b) ∆x=x-x0=2.1-2=0.1;

• ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

Пример 2. Вычислить приращение ∆f для функции f(x) = 1/x в точке х0, если приращение аргумента равняется ∆х.

Опять же, воспользуемся формулами, полученными выше.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = -∆x/((x0*(x0+∆x)).

Определение 1

Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.

В отношении функции $z=f(x,y)$ рассмотрим понятия общего (полного) и частного приращений функции.

Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.

Замечание 1

Так как переменные $(x,y)$ являются независимыми, то одна из них может изменяться, а другая при этом сохранять постоянное значение.

Дадим переменной $x$ приращение $\Delta x$, при этом сохраним значение переменной $y$ неизменным.

Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $x$. Обозначение:

Аналогично дадим переменной $y$ приращение $\Delta y$, при этом сохраним значение переменной $x$ неизменным.

Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $y$. Обозначение:

Если же аргументу $x$ дать приращение $\Delta x$, а аргументу $y$ - приращение $\Delta y$, то получается полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$. Обозначение:

Таким образом, имеем:

$\Delta _{x} z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $x$;

$\Delta _{y} z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$.

Пример 1

Решение:

$\Delta _{x} z=x+\Delta x+y$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $x$;

$\Delta _{y} z=x+y+\Delta y$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $y$.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$.

Пример 2

Вычислить частные и полное приращение функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$.

Решение:

По определению частного приращения найдем:

$\Delta _{x} z=(x+\Delta x)\cdot y$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $x$

$\Delta _{y} z=x\cdot (y+\Delta y)$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $y$;

По определению полного приращения найдем:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$.

Следовательно,

\[\Delta _{x} z=(1+0,1)\cdot 2=2,2\] \[\Delta _{y} z=1\cdot (2+0,1)=2,1\] \[\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Замечание 2

Полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$ не равно сумме ее частных приращений $\Delta _{x} z$ и $\Delta _{y} z$. Математическая запись: $\Delta z\ne \Delta _{x} z+\Delta _{y} z$.

Пример 3

Проверить утверждение замечания для функции

Решение:

$\Delta _{x} z=x+\Delta x+y$; $\Delta _{y} z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (получены в примере 1)

Найдем сумму частных приращений заданной функции $z=f(x,y)$

\[\Delta _{x} z+\Delta _{y} z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _{x} z+\Delta _{y} z\ne \Delta z.\]

Определение 2

Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z)$.

Определение 3

Если для каждой совокупности $(x,y,z,...,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,...,t)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Для функции от трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются частные приращения по каждой из переменных:

$\Delta _{z} w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z,...,t)$ по $z$;

$\Delta _{t} w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z,...,t)$ по $t$.

Пример 4

Записать частные и полное приращение функции

Решение:

По определению частного приращения найдем:

$\Delta _{x} w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $x$

$\Delta _{y} w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $y$;

$\Delta _{z} w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $z$;

По определению полного приращения найдем:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.

Пример 5

Вычислить частные и полное приращение функции $w=xyz$ в точке $(1;2;1)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$.

Решение:

По определению частного приращения найдем:

$\Delta _{x} w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $x$

$\Delta _{y} w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $y$;

$\Delta _{z} w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $z$;

По определению полного приращения найдем:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.

Следовательно,

\[\Delta _{x} w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _{y} w=1\cdot (2+0,1)\cdot 1=2,1\] \[\Delta _{y} w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)\cdot (1+0,1)=1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.\]

С геометрической точки зрения полное приращение функции $z=f(x,y)$ (по определению $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) равно приращению аппликаты графика функции $z=f(x,y)$ при переходе от точки $M(x,y)$ к точке $M_{1} (x+\Delta x,y+\Delta y)$ (рис. 1).

Рисунок 1.

Пусть x – произвольная точка, ледащая в некоторой окрестности фиксированной точки x 0 . разность x – x 0 принято называть приращение независимой переменной(или приращением аргумента) в точке x 0 и обозначается Δx. Таким образом,

Δx = x –x 0 ,

откуда следует, что

Приращение функции – разность между двумя значениями функции.

Пусть задана функция у = f(x) , определœенная при значении аргумента͵ равном х 0 . Дадим аргументу приращение Dх , ᴛ.ᴇ. рассмотрим значение аргумента͵ равное x 0 + Dх . Предположим, что это значение аргумента также входит в область определœения данной функции. Тогда разность Dy = f(x 0 + Dх) – f(x 0) принято называть приращением функции. Приращение функцииf (x ) в точке x - функция обычно обозначаемая Δ x f от новой переменной Δx определяемая как

Δ x f (Δx ) = f (x + Δx ) − f (x ).

Найти приращение аргумента и приращение функции в точке х 0 , если

Пример 2. Найти приращение функции f(x) = x 2 , если х = 1, ∆х = 0,1

Решение: f(х) = х 2 , f(х+∆х) = (х+∆х) 2

Найдем приращение функции ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + ∆x 2 /

Подставим значения х=1 и ∆х= 0,1, получим ∆f = 2*1*0,1 + (0,1) 2 = 0,2+0,01 = 0,21

Найти приращение аргумента и приращение функции в точки х 0

2.f(x) = 2x 3. x 0 =3 x=2,4

3. f(x) = 2x 2 +2 x 0 =1 x=0,8

4. f(x) = 3x+4 x 0 =4 x=3,8

Определœение : Производной функции в точке принято называть предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

Наиболее употребительны следующие обозначения производной:

Таким образом,

Нахождение производной принято называть дифференцированием . Вводится определœение дифференцируемой функции : Функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, принято называть дифференцируемой на данном промежутке.

Пусть в некоторой окрестноститочкиопределœена функцияПроизводной функции принято называть такое число , что функцию в окрестности U (x 0) можно представить в виде

f (x 0 + h ) = f (x 0) + Ah + o (h )

если существует.

Определœение производной функции в точке .

Пусть функция f(x) определœена на промежутке (a; b) , и - точки этого промежутка.

Определœение . Производной функции f(x) в точке принято называть предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается .

Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке . В случае если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке . В случае если же предел не существует, то и производная функции в этой точке не существует .

Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке , когда она имеет в ней конечную производную.

В случае если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b) , то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b) .

Операция нахождения производной принято называть дифференцированием.