Деление чисел с противоположными знаками. Деление отрицательных чисел, правило, примеры

Положительные и отрицательные числа изучаются в самом начале курса математики, в шестом классе. Хотя дальнейшее обучение требует постоянно работать с этими числами, неудивительно, что по прошествии времени некоторые мелочи забываются - и люди начинают совершать грубые ошибки.

Умножение и деление - одни из самых частых действий с числами, имеющими разные знаки. Разберемся и вспомним, как нужно перемножать и делить такие числа между собой, ставя в ответе правильный знак.

Умножение чисел с разными знаками

Это правило - одно из самых простых в арифметике.

• Если перед нами есть некое положительное число «а», и его требуется умножить на отрицательное число «z», то мы просто перемножаем числа - а потом ставим перед результатом знак «минус».
• Можно сказать и так - чтобы умножить друг на друга числа с разными знаками, нужно перемножить между собой модули множителей, а потом вернуть знак «минус» в ответ.

Для утверждения справедлива следующая цифровая запись: -а*z = - (|а|*|z|). Также напомним, что для нуля действуют особые правила - если на него умножается какое-либо число, положительное или отрицательное, ответ в любом случае будет равен нулю.

Возьмем пару простых примеров.

• Если выражение выглядит, как – 5*6, то решать его нужно следующим образом: -5*6 = - (|5|*|6|) = - 30.
• Если выражение следующего типа - - 7*0, то в ответе сразу пишется 0.

Деление чисел с разными знаками

Для таких случаев тоже действует очень простое правило. Оно похоже на предыдущее - если задача требует разделить «–а» на «b», или «a» на «–b», то для начала мы берем модули чисел, их абсолютные значения, и совершаем процесс деления безо всякой перестановки делимого и делителя.

Таким образом находится частное - а затем к нему добавляется знак «минус». Неважно, выступает ли в роли делимого отрицательное число, или наоборот, мы делим число со знаком «плюс» на отрицательное - ответ всегда будет со знаком «минус». Иначе говоря, числовым методом мы записываем это так: -a: b = - (|a| : |b|).

Например, - 10: 2 = - (10:2) = - 5, или 21: (-3) = - (21:3) = - 7. В конечном итоге деление совсем не сложное и сводится к привычным нам действиям над модулями чисел.

И точно так же, как в предыдущем случае, на особенном положении находится нуль. Его присутствие в выражении автоматически дает нуль в ответе. И неважно, это 0:а или а:0 - и попытка деления нуля, и деление на нуль дают одинаковый результат.

Класс: 6

«Знание – это набор фактов. Мудрость – умение их использовать»

Цель урока: 1) выведение правила умножения положительных и отрицательных чисел; способы применения этих правил в простейших случаях;
2) развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;
3) поиск различных способов и методов решения практических задач;
4) составить мини – проект. Информационный бюллетень.

Оборудование: модель термометра, карточки для взаимотренажера, проектер.

Ход урока

Приветствие. Узнать какую новую тему мы рассмотрим сегодня, нам поможет устный счет. Вычислите примеры, ответы замените буквами, используя «число – буква».

Слайд №1 Немного подумайте

Слайд №2 Кто это?

Индийский математик Брахмагупта, живший в VII веке, положительные числа представлял как «имущества», отрицательные числа как «долги».
Правила сложения положительных и отрицательных чисел он выражал так:
«Сумма двух имуществ – имущество»:

«Сумма двух долгов есть долг»:

А мы узнаем правило после того, как рассмотрим тему «Умножение отрицательных и положительных чисел»
Ваша задача научиться умножать положительные и отрицательные, а также перемножать отрицательные числа.
Мы составим мини – проект.
Мини-проект.
Информационный бюллетень
«Умножение положительных и отрицательных чисел»

Работа в группах (4 группы). (Действие помещаем в математический тренажер)

Задача 1 (1 группа)
Температура воздуха понижается каждый час на два градуса. Сейчас термометр показывает ноль градусов. Какую температуру он покажет через три часа? Изобразите это на координатной прямой. Приведите подобные примеры. Сделайте вывод и обобщите.
Решение: Так как сейчас температура ноль градусов и за каждый час она понижается на 2 градуса, то за 3 часа она будет равна -6,
(-2)·3=-(2·3)=-6

Задача 1 (2 группа)
Температура воздуха понижается каждый час на два градуса. Сейчас термометр показывает ноль градусов. Какую температуру воздуха показывал термометр 3 часа назад? Изобразите это на координатной прямой. Сделайте вывод.
Решение: Так как температура каждый час понижается на два градуса, а сейчас ноль градусов, то 3 часа назад она была равно +6.
(-2)·(-3)=2·3=6

Задача 1 (3 группа)
Фабрика выпускает в день 200 мужских костюмов. Когда стали выпускать костюмы нового фасона, расход ткани на один костюм изменила на -0,4 м2. На сколько изменился расход ткани на костюмы за день?
Решение: Это значит, что расход ткани на костюмы за день изменился на – 80.
(-0,4)·200=-(0,4·200)=-80.

Задача 1 (4 группа)
Температура воздуха понижается каждый час на два градуса. Сейчас термометр показывает ноль градусов. Какую температуру воздуха показывал термометр 4 часа назад?
Решение: Так как температура каждый час понижается на два градуса, а сейчас ноль градусов, то 4 часа назад она была равна +8, то есть
(-2)·(-4)=2·4=8

Выводы (учащиеся информацию заносят в макет информационного бюллетеня).

Слайд №4 Хорошенько подумайте

Первичное осмысление и применение изученного.
Работа с таблицей у доски и на местах (используя макет информационного бюллетеня).

Повторяем правило (вопросы задают ученики).
Работа с учебником:

• 1 ученик: №1105 (ж, з, и) 2 ученик: №1105 (к, л, м)
• № 1107 (работаем по группам) 1 группа: а), г);

2 группа: б), д);
3 группа: в), г).
Физкультминутка (2 мин.)
Повторяем правило на уравнение положительных и отрицательных чисел.

Слайд №5 Задача 2

Задание 2 (всем группам одинаковое).

Примените переместительное и сочетательное свойство, выполните произведение нескольких чисел и сделайте вывод:

Если число отрицательных множителей четное, то произведение – число _?_

Если число отрицательных множителей нечетное, то произведение – число _?_

Занести ещё одну информацию в макет информационного бюллетеня.

Слайд №6 Правило знаков.

Определите знак произведения:
1) «+»·«-»·«-»·«+»·«-»·«-»
2) «-»·«-»·«-»·«+»·«+»·
·«+»·«-»·«-»
3) «-»·«+»·«-»·«-»·«+»·«+»·
·«-»·«+»·«-»·«-»·«+»

Итак, пройдемся по всему бюллетеню и повторим правила применение их к решению заданий по карточки.
Тренажер (4 варианта).

Проверь себя.
Ответы к карточкам.

Теперь давайте разберемся с умножением и делением .

Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?

Давайте рассмотрим такой случай. Три человека залезли в долги, и у каждого по 4 доллара долга. Чему равен общий долг? Для того чтобы его найти, надо сложить все три долга: 4 доллара + 4 доллара + 4 доллара = 12 долларов. Мы с вами решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3×4. Поскольку в данном случае мы говорим о долге, перед 4 стоит знак «-». Мы знаем, что общий долг равен 12 долларам, так что теперь наша задача имеет вид 3х(-4)=-12.

Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4)х(-3)=-12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4)х(+3)=-12 и (+4)х(-3)=-12.

Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом . Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4)х(+3)=+12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.

А как перемножить два отрицательных числа?

К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.

Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения , сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.

Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3)х(-4)=+12.

Положение знака при умножении изменяется таким образом:

• положительное число х положительное число = положительное число;
• отрицательное число х положительное число = отрицательное число;
• положительное число х отрицательное число = отрицательное число;
• отрицательное число х отрицательное число = положительное число.

Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число . Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число .

Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению – для .

Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения . Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3)х(-4)=(+12).

Поскольку скоро зима, то пора уже подумать о том, в что переобуть своего железного коня, что бы не скользить по льду и чувствовать себя уверено на зимних дорогах. Можно, например, взять шины йокогама на сайте: mvo.ru или какие-то другие, главное, что бы качественный, больше информации и цены вы можете узнать на сайте Mvo.ru.

В данной статье дадим определение деления отрицательного числа на отрицательное, сформулируем и обоснуем правило, приведем примеры деления отрицательных чисел и разберем ход их решения.

Деление отрицательных чисел. Правило

Напомним, в чем суть операции деления. Данное действие представляет собой нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному другому множителю. Число с называется частным от деления чисел a и b , если верно произведение c · b = a . При этом, a ÷ b = c .

Правило деления отрицательных чисел

Частное ои деления одного отрицательного числа на другое отрицательное число равно частному от деления модулей этих чисел.

Пусть a и b - отрицательные числа. Тогда

a ÷ b = a ÷ b .

Данное правило сводит деление двух отрицательных чисел к делению положительных чисел. Оно справедливо не только для целых чисел, но также для рациональных и действительных чисел. Результат деления отрицательного числа на отрицательное есть всегда положительное число.

Приведем еще одну формулировку данного правила, подходящую для рациональных и действительных чисел. Она дается с помощью взаимно-обратных чисел и гласит: для деления отрицательного числа a на число undefined умножить на число b - 1 , обратное числу b .

a ÷ b = a · b - 1 .

Это же правило, сводящее деление к умножению, можно применять также и для деления чисел с разными знаками.

Равенство a ÷ b = a · b - 1 можно доказать, используя свойство умножения действительных чисел и определение взаимно обратных чисел. Запишем равенства:

a · b - 1 · b = a · b - 1 · b = a · 1 = a .

В силу определения операции деления, данное равенство доказывает, что есть частное от деления числа на число b.
Перейдем к рассмотрению примеров.

Начнем с простых случаяв, переходя к более сложным.

Пример 1. Как делить отрицательные числа

Разделим - 18 на - 3 .
Модули делителя и делимого соответственно равны 3 и 18 . Запишем:

18 ÷ - 3 = - 18 ÷ - 3 = 18 ÷ 3 = 6 .

Пример 2. Как делить отрицательные числа

Разделим - 5 на - 2 .
Аналогично, записываем по правилу:

5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2 .

Такой же результат получится, если использовать вторую формурировку правила с обратным числом.

5 ÷ - 2 = - 5 · - 1 2 = 5 · 1 2 = 5 2 = 2 1 2 .

Деля дробные рациональные числа удобнее всего представлять их в виде обыкновенных дробей. Однако, можно делить и конечные десятичные дроби.

Пример 3. Как делить отрицательные числа

Разделим - 0 , 004 на - 0 , 25 .

Сначала записываем модули этих чисел: 0 , 004 и 0 , 25 .

Теперь можно выбрать один из двух способов:

1. Разделить десятичные дроби столбиком.
2. Перейти к обыкновенным дробям и выполнить деление.

Разберем оба способа.

1. Выполняя деление десятичных дробей столбиком, перенесем запятую на две цифры вправо.

Ответ: - 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 0 , 016

2. Теперь приведем решение с переводом десятичных дробей в обыкновенные.

0 , 004 = 4 1000 ; 0 , 25 = 25 100 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 · 100 25 = 4 250 = 0 , 016

Полученные результаты совпадают.

В заключение отметим, что если делимое и делитель являются иррациональными числами и задаются в виже корней, степеней, логарифмов и т.д., результат деления записывается в виде числового выражения, приблизительное значение которого вычисляется в случае необходимости.

Пример 4. Как делить отрицательные числа

Вычислим частное от деления чисел - 0 , 5 и - 5 .

0 , 5 ÷ - 5 = - 0 , 5 ÷ - 5 = 0 , 5 ÷ 5 = 1 2 · 1 5 = 1 2 5 = 5 10 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На этом уроке мы повторим правила сложения положительных и отрицательных чисел. Также научимся умножать числа с разными знаками и узнаем правила знаков для умножения. Рассмотрим примеры умножения положительных и отрицательных чисел.

Свойство умножения на ноль остается верным и в случае отрицательных чисел. Ноль умножить на любое число - будет ноль.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Домашнее задание

1. Интернет-портал Mnemonica.ru ().
2. Интернет-портал Youtube.com ().
3. Интернет-портал School-assistant.ru ().
4. Интернет-портал Bymath.net ().